从2008年一次考证经历，第一次知道期权这货并看到期权定价的Black-Scholes-Merton公式开始，就被其深深迷住了，断断续续翻阅了许多书籍及文献资料，包括Hull那本及基础的数学分析、实分析及基于测度论的概率论等，以其能踩到看懂其背后原理的垫脚石。但由于大学专业和数学八竿子打不着，看起来很吃力，直到工作后于2015年左右遇见世图影印出版的《Stochastic Calculus for Finance》才看到完整的讲解，似懂非懂中看到第5章开头就放弃了，时间一直来到了2021年，趁COVID-19疫情期间工作之余继续怼，从头开始又来到了第5章，这次仿佛感觉看明白了。。。
因此做个总结，希望若干年以后还能不忘初心，顺着笔记还能摸到瓜。^_^
1. 风险中性测度下的股价
假设 $W(t), 0 \leq t \leq T $是概率空间$ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$上的布朗运动，$\mathcal{F}(t), 0\leq t \leq T$是该布朗运动的filtration，考虑股价$S(t)$，其微分如下：
\[d S(t)=\alpha(t) S(t) d t+\sigma(t) S(t) d W(t), \quad 0 \leq t \leq T. \tag{1.1}\]其中平均回报率$\alpha(t)$和股价波动率$\sigma(t)$为适应性过程，则$S(t)$满足以下等式：
\[S(t)=S(0) \exp \left\{\int_{0}^{t} \sigma(s) d W(s)+\int_{0}^{t}\left(\alpha(s)-\frac{1}{2} \sigma^{2}(s)\right) d s\right\} \tag{1.2}\]假设我们有适应性利率过程$R(t)$，定义折现过程
\[D(t)=e^{-\int_{0}^{t} R(s) d s} \tag{1.3}\]则
\[d D(t)=-R(t) D(t) d t \tag{1.4}\]$D(t)S(t)$及其微分$d (D(t)S(t))$分别为：
\[D(t) S(t)=S(0) \exp \left\{\int_{0}^{t} \sigma(s) d W(s)+\int_{0}^{t}\left(\alpha(s)-R(s)-\frac{1}{2} \sigma^{2}(s)\right) d s\right\} \tag{1.5}\] \[\begin{aligned} d(D(t) S(t)) &=(\alpha(t)-R(t)) D(t) S(t) d t+\sigma(t) D(t) S(t) d W(t) \\ &=\sigma(t) D(t) S(t)[\Theta(t) d t+d W(t)] \end{aligned} \tag{1.6}\]其中风险市场价格$\Theta(t)=\frac{\alpha(t)-R(t)}{\sigma(t)} $。
根据Girsanov’s Theorem，在概率测度$\widetilde{\mathbb{P}}$下，$d \widetilde W(t) = \Theta(t) d t+d W(t) $，因此公式1.6也可以写为
\[d (D(t)S(t)) = \sigma(t) D(t) S(t) d \widetilde W(t) \tag{1.7}\]两边同时积分
\[D(t) S(t)=S(0)+\int_{0}^{t} \sigma(u) D(u) S(u) d \widetilde{W}(u) \tag{1.8}\]由于在概率测度$ \widetilde{\mathbb{P}}$下，$\int_{0}^{t} \sigma(u) D(u) S(u) d \widetilde{W}(u)$是伊藤过程，因此是一个鞅。由此我们称Girsanov’s Theorem下的概率测度$\widetilde{\mathbb{P}}$为风险中性测度（risk-neutral measure）。
将$d \widetilde W(t) = \Theta(t) d t+d W(t) $带入公式1.1，可以得到在概率测度$\widetilde{\mathbb{P}}$下，公式1.1和1.2分别可以改写成公式1.9和公式1.10的形式
\[d S(t)=\alpha(t) S(t) d t+\sigma(t) S(t) d \widetilde {W}(t) \tag{1.9}\] \[S(t)=S(0) \exp \left\{\int_{0}^{t} \sigma(s) d \widetilde{W}(s)+\int_{0}^{t}\left(R(s)-\frac{1}{2} \sigma^{2}(s)\right) d s\right\} \tag{1.10}\]2. 未完待续…
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